Question

已知橢C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，橢圓的短軸端點與雙曲線

y2

2

-x2=1的焦點重合，過P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢C的方程；
（Ⅱ）求

OA

•

OB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由雙曲線

y2

2

-x2=1得焦點(0，±

3

)，得b=

3

．又e=

c

a

=

1

2

，a²=b²+c²，聯立解得即可；
（II）由題意可知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x-4），與橢圓方程聯立得到，（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，由△＞0得k2＜

1

4

．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數的關系可得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂，進而得到取值范圍．

解答：解：（I）由雙曲線

y2

2

-x2=1得焦點(0，±

3

)，得b=

3

．
又e=

c

a

=

1

2

，a²=b²+c²，聯立解得a²=4，c=1．
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）由題意可知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x-4），聯立

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1

，
（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，
由△=（-32k²）²-4（4k²+3）（64k²-12）＞0得k2＜

1

4

．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

32k2

4k2+3

，x1x2=

64k2-12

4k2+3

，
∴y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=(1+k2)•

64k2-12

4k2+3

-4k2•

32k2

4k2+3

+16k2=25-

87

4k2+3

，
∵0≤k2＜

1

4

，∴-

87

3

≤

87

4k2+3

＜-

87

4

，
∴

OA

•

OB

∈[-4，

13

4

)．
故

OA

•

OB

的取值范圍為[-4，

13

4

)．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到判別式△＞0即根與系數的關系、數量積運算等基礎知識與基本技能，屬于難題．