Question

【題目】已知函數f（x）=exsinx．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）如果對于任意的 ，f（x）≥kx恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）設函數F（x）=f（x）+excosx， ，過點 作函數F（x）的圖象的所有切線，令各切點的橫坐標按從小到大構成數列{xn}，求數列{xn}的所有項之和的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）=ex（sinx+cosx）= ，

∴f（x）的增區間為 ；減區間為 ．

（2）解：令g（x）=f（x）﹣kx=exsinx﹣kx

要使f（x）≥kx恒成立，只需當 時，g（x）min≥0，

∵g'（x）=ex（sinx+cosx）﹣k，

令h（x）=ex（sinx+cosx），則h'（x）=2excosx≥0對 恒成立，

∴h（x）在 上是增函數，則 ，

①當k≤1時，g'（x）≥0恒成立，g（x）在 上為增函數，

∴g（x）min=g（0）=0，∴k≤1滿足題意；

②當 時，g'（x）=0在 上有實根x0，h（x）在 上是增函數，

則當x∈[0，x0）時，g'（x）＜0，∴g（x0）＜g（0）=0不符合題意；

③當 時，g'（x）≤0恒成立，g（x）在 上為減函數，

∴g（x）＜g（0）=0不符合題意∴k≤1，即k∈（﹣∞，1]．

（3）解：∵F（x）=f（x）+excosxex（sinx+cosx）∴F'（x）2excosx

設切點坐標為 ，則切線斜率為

從而切線方程為 = ，

∴ ，

令y1=tanx， ，這兩個函數的圖象均關于點 對稱，

則它們交點的橫坐標也關于 對稱，從而所作的所有切線的切點的橫坐標構成數列{xn}的項也關于 成對出現，

又在 共有1008對，每對和為π；

∴S=1008π．

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）令g（x）=f（x）﹣kx，問題轉化為g（x）min≥0，令h（x）=ex（sinx+cosx），通過討論k的范圍求出函數g（x）的單調性，從而確定a的范圍即可；（3）設出切點坐標，求出切線方程，分別令y1=tanx， ，得到這兩個函數的圖象均關于點 對稱，從而求出數列{xn}的所有項之和的值．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．