Question

【題目】如圖，在四面體中，分別是線段的中點，，，，直線與平面所成的角等于．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見證明； (Ⅱ) 。

【解析】

（Ⅰ）先證得，再證得，于是可得平面，根據面面垂直的判定定理可得平面平面．（Ⅱ）利用幾何法求解或建立坐標系，利用向量求解即可得到所求．

（Ⅰ）在中，是斜邊的中點，

所以.

因為是的中點，

所以，且，

所以，

所以.

又因為，

所以，

又，

所以平面，

因為平面，

所以平面平面．

（Ⅱ）方法一：取中點，連，則，

因為，

所以.

又因為，，

所以平面，

所以平面．

因此是直線與平面所成的角．

故，

所以.

過點作于，則平面，

且．

過點作于，連接，

則為二面角的平面角．

因為，

所以，

所以，

因此二面角的余弦值為．

方法二：

如圖所示，在平面BCD中，作x軸⊥BD，以B為坐標原點，BD，BA所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標系．

因為 (同方法一,過程略)

則，,．

所以,,，

設平面的法向量，

則，即，取,得．

設平面的法向量

則，即，取,得．

所以，

由圖形得二面角為銳角，

因此二面角的余弦值為．