Question

【題目】已知函數，對任意a，恒有，且當時，有．

Ⅰ求；

Ⅱ求證：在R上為增函數；

Ⅲ若關于x的不等式對于任意恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）見解析； （Ⅲ）.

【解析】

Ⅰ根據題意，由特殊值法令，則，變形可得的值，

Ⅱ任取，，且設，則，結合，分析可得，結合函數的單調性分析可得答案；

Ⅲ根據題意，原不等式可以變形為，結合函數的單調性可得，令，則原問題轉化為在上恒成立，即對任意恒成立，結合二次函數的性質分析可得答案．

Ⅰ根據題意，在中，

令，則，則有；

Ⅱ證明：任取，，且設，則，，

又由，

則，

則有，

故在R上為增函數．

Ⅲ根據題意，，

即，則，

又由，則，

又由在R上為增函數，則，

令，，則，

則原問題轉化為在上恒成立，

即對任意恒成立，

令，只需，

而，，

當時，，則．

故t的取值范圍是．