Question

【題目】已知定義在R上的函數f（x）＝|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在實數x使f（x）＜2成立．

（1）求不等式f（x）＞8的解；

（2）若α，β≥1，f（α）+f（β）＝4，求證：．

Answer 1

【答案】(1) {x|x或x}；(2)證明見解析

【解析】

（1）由絕對值三角不等式可得|x﹣m|+|x|≥|m|，根據存在實數x使f（x）＜2成立，求出實數m的值，然后解不等式f（x）＞8即可．

（2）先由條件求出α+β＝3，從而得到，再利用基本不等式求出最小值即可證明結論．

（1）因為|x﹣m|+|x|≥|（x﹣m）﹣x|＝|m|，

所以由存在實數x使f（x）＜2成立，可得|m|＜2，

所以﹣2＜m＜2，因為m∈N*，所以m＝1，

所以f（x）＝|x﹣1|+|x|．

因為f（x）＞8，所以或，

所以x或x，

所以不等式的解集為{x|x或x}；

（2）因為α，β≥1，所以f（α）+f（β）＝2α﹣1+2β﹣1＝4，則α+β＝3，

所以3，

當且僅當，即α＝2，β＝1時取等號，

所以．