Question

A地某單位用三輛客車送職工去B地旅游，從A地到B地有高速公路和一級公路各一條，已知客車走一級公路堵車的概率為

1

4

；若1號、2號兩輛客車走一級公路，3號公路走高速公路，且在輛客車是否被堵車相互之間無影響，若三輛客車中恰有一輛被堵車的概率為

12

32

．
（I）求客車走高速公路被堵車的概率；
（II）求三輛客車中被堵車輛的輛數ξ的數學期望和方差．

Answer 1

分析：（I）客車走一級公路堵車的概率為

1

4

，不堵車的概率為

3

4

，設客車走高速公路堵車的概率是p，不堵車的概率是1-p，由題設知

C

1 2

×

1

4

×

3

4

(1-p)+(

3

4

)2×p=

13

32

，從而得到客車走高速公路被堵車的概率．
（II）ξ可能的取值是0，1，2，3，p（ξ=0）=

15

32

，p（ξ=1）=

13

32

，p（ξ=2）=

11

96

，p（ξ=3）=

1

96

，由此能夠求出三輛客車中被堵車輛的輛數ξ的數學期望和方差．

解答：解：（I）客車走一級公路堵車的概率為

1

4

，不堵車的概率為

3

4

，
設客車走高速公路堵車的概率是p，不堵車的概率是1-p，
∴

C

1 2

×

1

4

×

3

4

(1-p)+(

3

4

)2×p=

13

32

，
解得p=

1

6

．
（II）ξ可能的取值是0，1，2，3，
p（ξ=0）=

3

4

×

3

4

×

5

6

=

15

32

，
p（ξ=1）=

C

1 2

×

1

4

×

3

4

(1-p)+(

3

4

)2×p=

13

32

，
p（ξ=2）=

11

96

，
p（ξ=3）=

1

4

×

1

4

×

1

6

=

1

96

，

∴Eξ=0×

15

32

+1×

13

32

+2×

11

296

+3×

1

96

=

2

3

，
Dξ=(0-

2

3

)2×

15

32

+(1-

2

3

)2×

13

32

+(2-

2

3

)2×

11

96

+(3-

2

3

)2×

1

96

=

37

72

．

點評：本題n次獨立重復試驗恰好發生k次的概率，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．