Question

（2009•黃岡模擬）在某社區舉辦的《2008奧運知識有獎問答比賽》中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲回答這道題對的概率是

3

4

，甲、丙兩人都回答錯的概率是

1

12

，乙、丙兩人都回答對的概率是

1

4

．
（Ⅰ）求乙、丙兩人各自回答這道題對的概率；
（Ⅱ）用ξ表示回答該題對的人數，求ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）記“甲回答對這道題”、“乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件A、B、C，根據題意可建立關系式P(A)=

3

4

，且有

P( . A )•P( . C )= 1 12 P(B)•P(C)= 1 4

，然后根據相互獨立事件的概率公式解之即可；
（II）ξ的可能取值為：0、1、2、3，然后分別求出相應的概率，列出分布列，利用數學期望公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）記“甲回答對這道題”、“乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件A、B、C，則P(A)=

3

4

，且有

P( . A )•P( . C )= 1 12 P(B)•P(C)= 1 4

，即

[1-P(A)]•[1-P(C)]= 1 12 P(B)•P(C)= 1 4

∴P(B)=

3

8

，P(C)=

2

3

．…6′
（Ⅱ）由（Ⅰ）P(

.

A

)=1-P(A)=

1

4

，P(

.

B

)=1-P(B)=

1

3

．ξ的可能取值為：0、1、2、3．
則P(ξ=0)=P(

.

A

•

.

B

•

.

C

)=

1

4

•

1

3

•

5

8

=

5

96

；P(ξ=1)=P(A•

.

B

•

.

C

)+P(

.

A

•B•

.

C

)+P(

.

A

•

.

B

•C)=

3

4

•

5

8

•

1

3

+

1

4

•

3

8

•

2

3

+

3

4

•

5

8

•

2

3

=

7

24

；P(ξ=2)=P(A•B•

.

C

)+P(A•

.

B

•C)+P(

.

A

•B•C)=

15

32

；P(ξ=3)=P(A•B•C)=

3

16

．…9′
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	5 96	7 24	15 32	3 16

ξ的數學期望Eξ=0•

5

96

+1•

7

24

+2•

15

32

+3•

3

16

=

43

24

．…12′

點評：本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機變量及其分布列和數學期望，屬于中檔題．