Question

已知實數a同時滿足下列兩個條件：
①函數f（x）=lg（x²-2ax+a²-a+1）的定義域為R；
②對任意的實數x，不等式2x+|2x-3a|＞1恒成立．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）在①的條件下，求關于x的不等式log_a（-2x²+3x）＞0的解集．

Answer 1

解：（1）求滿足條件①的a的取值范圍，
函數f（x）的定義域為R?x取任意實數時，
x²-2ax+a²-a+1＞0恒成立?△＜0，
即△=（-2a）²-4（a²-a+1）＜0
解得：a＜1．
求滿足條件②的a的取值范圍
設
由可得，
4x≥6a，得4x-3a≥3a．
說明：當
又當
∴對任意的實數x，恒有g（x）≥3a
要使得x取任意實數時，不等式2x+|2x-3a|＞1恒成立，
須且只須
由①②可得，同時滿足條件（i）、（ii）的實數a的取值范圍為：．
（2）∵，∴不等式log_a（-2x²+3x）＞0???，∴．∴不等式log_a（-2x²+3x）＞0的解集是：．
分析：（1）先分別求出滿足條件①的a的取值范圍和滿足條件②的a的取值范圍，然后取這兩個取值范圍的公共部分就是實數a的取值范圍．
（2）在①的條件下，不等式log_a（-2x²+3x）＞0?，解這個不等式組可得答案．
點評：本題比較難，解題時要注意等價轉化，從而降低解題難度．