Question

等差數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1；等比數列{b_n}中，b₁=1．若a₃+S₃=14，b₂S₂=12．
（I）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設c_n=a_n+2b_n，數列{c_n}的前n項和為T_n．求證：T_n≥3ⁿ．

Answer 1

【答案】分析：（I）設等差數列{a_n}的公差為d；等比數列{b_n}的公比為q，根據a₃+S₃=14，b₂S₂=12，構建方程，即可求a_n與b_n；
（Ⅱ）利用分組求和，求得數列的和，即可證得結論．
解答：（I）解：設等差數列{a_n}的公差為d；等比數列{b_n}的公比為q，則
∵a₃+S₃=14，b₂S₂=12．
∴（1+2d）+（3+3d）=14，d（2+d）=12
∴d=2，q=3
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1；
（Ⅱ）證明：∵c_n=a_n+2b_n，數列{c_n}的前n項和為T_n，
∴T_n=（1+3+…+2n-1）+2（1+3+3²+…+3^n-1）==n²+3ⁿ-1≥3ⁿ
∴T_n≥3ⁿ
點評：本題考查數列的通項與求和，考查方程組的思想，解題的關鍵是確定數列的通項，屬于中檔題．