Question

【題目】已知函數．

（1）設．

①若函數在處的切線過點，求的值；

②當時，若函數在上沒有零點，求的取值范圍．

（2）設函數，且，求證: 當時，．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）①由題意切線斜率,又 切線方程 ；②當 ，因為．

然后利用分類討論思想對和分情況討論的：；（2）由題意得,從而原命題等價于設 ,然后利用導數工具證明．

試題解析：

（1）①由題意，得,所以函數在處的切線斜率,又，所以函數在處的切線方程，將點代入，得．

②當，可得，因為．

當時，，函數在上單調遞增，而，所以只需，解得，從而當時，由，解得

,當時，單調遞減; 當時，單調遞增, 所以函數在上有最小值為，令，解得．綜上所述，．

（2）由題意，,而,等價于

，則，且，

令，則，因為，所以導數在上單調遞增，于是，從而函數在上單調遞增，即．