Question

已知函數.
（Ⅰ）討論函數的單調性；
（Ⅱ）設，證明：對任意，.

Answer 1

（Ⅰ）分類討論得到單調性      （Ⅱ）構造函數用導數的方法證明.      

試題分析：(Ⅰ) f(x)的定義域為(0,+)，  
當a≥0時，＞0，故f(x)在(0,+)單調增加；
當a≤－1時，＜0, 故f(x)在(0,+)單調減少；
當－1＜a＜0時，令＝0,解得x=.當x∈(0, )時, ＞0；
x∈(，+)時，＜0, 故f(x)在（0, ）單調增加，在（，+）單調減少   
(Ⅱ)不妨設x₁≥x₂.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）單調減少.
所以等價于≥4x₁－4x₂,
即f(x₂)+ 4x₂≥f(x₁)+ 4x₁.         
令g(x)=f(x)+4x,則+4＝.               
于是≤＝≤0.
從而g(x)在（0，+）單調減少，故g(x₁) ≤g(x₂)，即　f(x₁)+ 4x₁≤f(x₂)+ 4x₂，
故對任意x₁,x₂∈(0,+) ，.
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性及函數的最值問題，考查分類討論思想，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，屬難題．