Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB＝4，PA＝3，點A在PD上的射影為點G，點E在AB上，平面PEC⊥平面PDC.

（1）求證：AG∥平面PEC；

（2）求AE的長；

（3）求二面角E—PC—A的正弦值.（本題滿分14分）

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析。（2）  （3）。

【解析】       

試題分析：解（1）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA

∴CD⊥平面PAD   ∴CD⊥AG，

又PD⊥AG

∴AG⊥平面PCD  ……………………2分

作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD

∴EF⊥平面PCD，

∴EF∥AG

又AG面PEC，EF面PEC，

∴AG∥平面PEC  ……………………4分

（2）由（Ⅰ）知A、E、F、G四點共面，又AE∥CD，

∴AE∥平面PCD。

∴AE∥GF。

∴四邊形AEFG為平行四邊形，∴AE＝GF。    ……………………………5分

∵PA＝3，AB＝4，∴PD＝5，AG＝，

又PA²＝PG•PD，∴PG     ………………………………………………7分

又，∴，∴  ………………………9分

（3）過E作EO⊥AC于點O，易知EO⊥平面PAC，

又EF⊥PC，∴OF⊥PC∴∠EFO即為二面角E—PC—A的平面角  …………11分

，

又EF＝AG

∴              …………………14分

點評：二面角的求法是立體幾何中的一個難點。我們解決此類問題常用的方法有兩種：①綜合法，綜合法的一般步驟是：一作二說三求。②向量法，運用向量法求二面角應注意的是計算。很多同學都會應用向量法求二面角，但結果往往求不對，出現的問題就是計算錯誤。