Question

【題目】已知函數有兩個零點．

（1）求的取值范圍；

（2）設，是的兩個零點，證明：．

Answer 1

【答案】（1）的取值范圍為；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）求出，然后分、、、四種情況討論，每種情況下求出的單調性，再結合函數值的符號即可得到答案；

（2）借助（1）的結論來證明，由單調性可知等價于，即．設，則．則當時，，而，故當時，．從而，故．

（1）．

①當時，則，只有一個零點．

②當時，則當時，；當時，．

所以在單調遞減，在單調遞增．

又，，取滿足且，

則，

故存在兩個零點．

③當時，由得或．

若，則，故當時，，因此在單調遞增．

又當時，所以不存在兩個零點．

若，則，故當時，；當時，．

因此在單調遞減，在單調遞增．

又當時，，所以不存在兩個零點．

綜上，的取值范圍為．

（2）不妨設，由（1）知，，

在單調遞減，所以要證，即證，即證．

由于，而，

所以．

設，則．

所以當時，，而，故當時，．

從而，故．