Question

【題目】如圖，在直角坐標系xOy中，圓O：x2+y2=4與x軸負半軸交于點A，過點A的直線AM，AN分別與圓O交于M，N兩點，設直線AM、AN的斜率分別為k1、k2．

（1）若，求△AMN的面積；

（2）若k1k2=-2，求證：直線MN過定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由題意得到直線AM與AN的方程，利用垂徑定理分別求得AM與AN的值，再由兩直線垂直，代入三角形面積公式求解；

（2）由題知直線AM的方程y=k1（x+2），直線AN的方程為．分別與圓的方程聯立求得M，N的坐標，寫出MN的直線方程，利用直線系方程即可證明線MN過定點．

（1）由題知，直線AM的方程為y=2x+4，直線AN的方程為．

∴圓心到直線AM的距離，得，

同理求得，

由題知k1k2=-1，得AN⊥AM，

；

（2）由題知直線AM的方程y=k1（x+2），直線AN的方程為．

聯立方程，得，

得x=-2或，

∴，同理，，

∴直線MN為．

即，得，

∴直線MN恒過定點．