Question

【題目】 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）見解析；（III）.

【解析】

（I）連接，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形中位線的性質(zhì)，得到，利用線面平行的判定定理證得結(jié)果；

（II）取棱的中點(diǎn)，連接，依題意，得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)得到，利用線面垂直的判定定理證得結(jié)果；

（III）利用線面角的平面角的定義得到為直線與平面所成的角，放在直角三角形中求得結(jié)果.

（I）證明：連接，易知，，

又由，故，

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（II）證明：取棱的中點(diǎn)，連接，依題意，得，

又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

所以平面，又平面，故，

又已知，，

所以平面.

（III）解：連接，由（II）中平面，

可知為直線與平面所成的角.

因?yàn)?/span>為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，

所以，又，

在中，，

所以，直線與平面所成角的正弦值為.