Question

【題目】從拋物線上任意一點向軸作垂線段垂足為，點是線段上的一點，且滿足.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設直線與軌跡交于兩點，點為軌跡上異于的任意一點，直線分別與直線交于兩點.問：軸正半軸上是否存在定點使得以為直徑的圓過該定點？若存在，求出符合條件的定點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點，理由詳見解析.

【解析】

（1）設點，利用關系，將點坐標表示為形式，代入拋物線方程，即可求解；

（2）將直線與軌跡方程聯立，消去得到關于的一元二次方程，由根與系數關系，建立縱坐標關系，設點坐標，求出直線方程，進而求出坐標，先求出為原點時， 為直徑的圓過軸正半軸上定點，而后證明為曲線不同于任意點時，判定該定點是否在以為直徑的圓上，即可求出結論.

（1）設，則，

在拋物線上，

為曲線的方程；

（2）設，

聯立，消去，

，

直線的斜率為，

直線方程為，

令，

所以，同理，

令中點坐標為，

，

以為直徑的圓方程為，

令或（舍去）

當為坐標原點是以為直徑的圓過定點，

當不過原點時，，

，

，以為直徑的圓過點，

軸正半軸上存在定點使得以為直徑的圓過該定點