Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，， ，，為的中點．

（1）求異面直線，所成角的余弦值；

（2）點在線段上，且，若直線與平面所成角的正弦值為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用空間向量求線線角，先根據題意確定空間直角坐標系，設立各點坐標，表示直線方向向量，利用向量數量積求向量夾角余弦值，最后根據線線角與向量夾角關系得線線角余弦值（2）利用空間向量求線面角，先根據題意確定空間直角坐標系，設立各點坐標，根據方程組求面的法向量，利用向量數量積求向量夾角余弦值，最后根據線面角與向量夾角互余關系列等量關系，解出的值．

試題解析：（1）

因為平面，且平面，

所以，，

又因為，所以兩兩互相垂直．

分別以為軸建立空間直角坐標系，

則由，可得

，，，，，

又因為為的中點，所以．

所以，，…………2分

所以

，

所以異面直線，所成角的余弦值為．…………………………5分

（2）因為，所以，則，

，，

設平面的法向量為，

則 即 令，解得，，

所以是平面的一個法向量．……………………………7分

因為直線與平面所成角的正弦值為，

所以，

解得，

所以的值為．……………………………………………………………10分