Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，點為坐標原點，若橢圓與曲線的交點分別為（下上），且兩點滿足．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓上異于其頂點的任一點，作的兩條切線，切點分別為，且直線在軸、軸上的截距分別為，證明：為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析．

【解析】試題分析：（1）設，然后根據向量數量積求得的值，再結合離心率求得的值，由此求得橢圓方程；（2）．設點，然后根據條件求得的方程，從而求得直線在軸、軸上的截距為，進而使問題得證．

試題解析：（1）設橢圓的半焦距為，設，則，

由，得，∴，①

又橢圓的離心率為，所以，②

又，③

由①②③，解得，

故橢圓的標準方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分

（2）如圖，設點，由是的切點知，，

所以四點在同一圓上，且圓的直徑為，

則圓心為，其方程為，

即，④

即點滿足話中④，又點都在上，

所以坐標也滿足方程，⑤

⑤-④得直線的方程為，

令，得；令，得，所以，

又點在橢圓上，所以，即中，

即，即為定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分