設(shè)
，函數(shù)
.
（1）若
，求曲線
在點
處的切線方程；
（2）若
無零點，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）若有兩個相異零點
、
，求證：
.
（1）切線方程為
；（2）實數(shù)的取值范圍是
；（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點斜式求出切線的方程；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對的符號進(jìn)行分類討論，結(jié)合零點存在定理判斷函數(shù)在定義域上是否有零點，從而求出參數(shù)的取值范圍；另外一中方法是將問題等價轉(zhuǎn)化為“直線
與曲線
無公共點”，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)
的基本性質(zhì)，然后利用圖象即可確定實數(shù)的取值范圍；（3）從所證的不等式出發(fā)，利用分析法最終將問題等價轉(zhuǎn)換為證明不等式
在區(qū)間
上恒成立，并構(gòu)造新函數(shù)
，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最值來進(jìn)行證明.
試題解析：在區(qū)間
上，
，
（1）當(dāng)時，
，則切線方程為
，即；
（2）①當(dāng)
時，
有唯一零點
；
②當(dāng)
時，則
，是區(qū)間上的增函數(shù)，
，
，
，即函數(shù)在區(qū)間有唯一零點；
③當(dāng)
時，令
得
，
在區(qū)間
上，，函數(shù)是增函數(shù)，
在區(qū)間
上，
，函數(shù)是減函數(shù)，
故在區(qū)間上，的極大值為
，
由
，即
，解得
，故所求實數(shù)的取值范圍是；
另解：無零點
方程
在上無實根直線與曲線無公共點，
令，則
，令
，解得
，列表如下：
，
.
；
與
、
均相切，切點分別為（
）、（
），且
，求證：
.
，
．
（其中
是
的導(dǎo)函數(shù)），求
的最大值；
時，有
；
,當(dāng)
時,不等式
恒成立，求
的最大值.
，
的單調(diào)性；
.
，
；
時，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
的取值范圍；
，是否存在實數(shù)
(
是自然對數(shù)的底數(shù))時，函數(shù)
的最小值是
.若存在，求出
.
，求
的單調(diào)區(qū)間；
時
，求
的取值范圍
，函數(shù)
的圖象上的動點
在
軸上的射影為
，且點
的左側(cè).設(shè)
，
的面積為
.
的取值范圍；
，曲線
過點P（1，0），且在P點處的切斜線率為2．
，
的值；
．
，其中
.
，
，記直線AB的斜率 為k，問：是否存在x0∈（x1，x2），使
成立？若存在，求
的取值范圍；若不存在，請說明理由.