Question

如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M為棱DD₁上的一點．
（1）求三棱錐A-MCC₁的體積；
（2）當M為中點時，求證：B₁M⊥平面MAC．

Answer 1

分析：（1）由圖形直接求出三棱錐的底面積和高，代入體積公式加以計算，即可得到三棱錐A-MCC₁的體積；
（2）利用勾股定理，算出B₁D₁=

2

，從而得到B₁M=

3

，同理得到B₁C=

5

且CM=

2

，△B₁CM中利用勾股定理的逆定理證出B₁M⊥MC．同理證出B₁M⊥AM，再利用線面垂直的判定定理即可證出B₁M⊥平面MAC．

解答：解：（1）根據題意，可得
AD⊥平面MCC₁，即AD=1是三棱錐A-MCC₁的高
∵S_△ MCC1=

1

2

SCC1D1D=

1

2

×1×2=1
∴三棱錐A-MCC₁的體積V=

1

3

S_△ MCC1•AD=

1

3

×1×1=

1

3

；
（2）正方形A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁=

A1B12+A 1D12

=

2

Rt△B₁D₁M中，D₁M=

1

2

D₁D=1，∴B₁M=

D1M2+B 1D12

=

3

同理可得B₁C=

5

，CM=

2

∴△B₁CM中，B₁C²=CM²+B₁M²，可得∠B₁MC=90°，即B₁M⊥MC
同理可得B₁M⊥AM
∵AM、MC是平面MAC內的相交直線，
∴B₁M⊥平面MAC．

點評：本題在正四棱柱中證明線面垂直，并求三棱錐的體積．著重考查了線面垂直的判定與性質、勾股定理及其逆定理和正四棱柱的性質等知識，屬于中檔題．