Question

（本小題共8分）
提高二環路的車輛通行能力可有效改善整個城區的交通狀況，在一般情況下，二環路上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數。當二環路上的車流密度達到600輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過60輛/千米時，車流速度為80千米/小時，研究表明：當60≤x≤600時，車流速度v是車流密度x的一次函數。
（Ⅰ）當0≤x≤600時，求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內通過二環路上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）f（x）=x·v（x）可以達到最大，并求出最大值。（精確到1輛/小時）

Answer 1

(1) f（x）=
(2) 當車流密度為300輛/千米時，車流量達到最大值，約為13333輛/小時.

試題分析：解：（Ⅰ）由題意：當0≤x≤60時，v（x）=80；
當60≤x≤600時，設v（x）=ax+b，顯然v（x）=ax+b在[60，600]是減函數，
由已知得，解得
故函數v（x）的表達式為v（x）=            4分
（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得f（x）=
當0≤x≤60時，f（x）為增函數，故當x=60時，其最大值為60×80=4800；
當60≤x≤600時，f（x）= ≤，
當且僅當x=300時，等號成立.
所以，當x=300時，f（x）在區間[60，600]上取得最大值.
綜上，當x=300時，f（x）在區間[0，600]上取得最大值≈13333，
即當車流密度為300輛/千米時，車流量達到最大值，約為13333輛/小時.    8分
點評：解決該試題的關鍵是對于實際問題能翻譯為代數式，同時能結合函數的性質得到最值。屬于基礎題。