Question

【題目】已知橢圓：，其左、右焦點分別為，上頂點為，為坐標原點，過的直線交橢圓于兩點，.

（1）若直線垂直于軸，求的值；

（2）若，直線的斜率為，則橢圓上是否存在一點，使得關(guān)于直線成軸對稱？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）設(shè)直線:上總存在點滿足，當的取值最小時，求直線的傾斜角.

Answer 1

【答案】(1)5；(2)答案見解析；(3).

【解析】試題分析：

（1）由題意可得，則，結(jié)合勾股定理可得，，則.

（2）由題意可得橢圓方程為，且，的坐標分別為，由對稱性可求得點坐標為，該點不在橢圓上，則橢圓上不存在滿足題意的點.

（3）由題意可得橢圓方程為，且，的坐標為，設(shè)直線的y軸截距式方程，與橢圓方程聯(lián)立有，由題意可知點是線段的中點，據(jù)此計算可得，

當且僅當時取等號.則直線的傾斜角.

試題解析：

（1）因為，則，

即，設(shè)橢圓的半焦距為，則，在直角中，，即

解得，，所以.

（2）由，，得，因此橢圓方程為，且，

的坐標分別為，直線的方程為，設(shè)點坐標為，

則由已知可得：，解得，而，

即點 不在橢圓上，

所以，橢圓上不存在這樣的點，使得關(guān)于直線成軸對稱.

（3）由，得橢圓方程為，且，的坐標為，所以可設(shè)直線的方程為，代入得：，

因為點滿足，所以點是線段的中點，

設(shè)的坐標為，則 ，

因為直線上總存在點滿足，

所以，且，所以，

當且僅當，即時取等號.所以當時，，此時直線的傾斜角.