Question

【題目】已知五邊形ABECD由一個直角梯形ABCD與一個等邊三角形BCE構成，如圖1所示,AB丄BC，AB//CD，且AB=2CD。將梯形ABCD沿著BC折起，如圖2所示，且AB丄平面BEC。

(1)求證:平面ABE丄平面ADE；

(2)若AB=BC,求二面角A-DE-B的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點的中點，連接，可證得四邊形為平行四邊形，可得．由條件可得到平面，從而平面，于是可得所證結論成立．（2）建立空間直角坐標系，再求出兩個平面的法向量，根據兩法向量的夾角可求出二面角的平面角的余弦值．

（1）證明：取的中點的中點，連接，

則且．

∵且，

∴且，

∴四邊形為平行四邊形，

∴．

∵平面，

∴．

∵img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2019/07/10/08/7c111f09/SYS201907100800588825886904_DA/SYS201907100800588825886904_DA.020.png" width="163" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，

∴平面．

∵，

∴平面,

∵平面，

∴平面平面．

（Ⅱ）過作于.

∵平面，

∴．

又，

∴平面．

以為坐標原點，所在的直線分別為軸、軸，過且平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

設，則

∴.

設平面的法向量為，

則有，即，

取得，則．

設平面的法向量為，

則有，即，

取，得，則．

∴，

又由圖可知二面角的平面角為銳角，

∴二面角的余弦值為．