Question

【題目】已知函數，的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是，若將的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數為奇函數．

（1）求的解析式；

（2）求的對稱軸及單調增區間；

（3）若對任意，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）對稱軸為，單調增區間為；（3）

【解析】

（1）由已知可得到周期，進一步得到，，由為奇函數所以，結合即可得到；

（2）令可得對稱軸方程，由可得單調增區間；

（3）易得，令，，問題可轉化為在上恒成立，只需求出即可.

（1）由已知，周期，所以，，

因為為奇函數，所以，即，又，

所以，所以.

（2）由（1）令，得，

所以的對稱軸為；

由，得，

所以的單調增區間為；

（3）當時，，所以，

令，則原問題可轉化為在上恒成立，

令，

當時，在上單調遞增，所以，

解得或，所以；

當時，在上單調遞減，上單調遞增，所以

，此時無解；

當時，在上單調遞減，所以，

解得或，所以.

綜上，實數的取值范圍為.