Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 已知橢圓C的兩個焦點分別是F1(-

2

，0)、F2(

2

，0)，橢圓C上一動點M₁滿足|

M1F1

|+|

M1F

2|=2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程
（Ⅱ）試探究y軸上是否存在點P（0，m）（m＜0），使得過點P作直線l與橢圓C只有一個交點，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2

2

．若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得：2a=2

3

得a=

3

，半焦距c=

2

，所以橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1，“伴隨圓”的方程為x²+y²=4．
（Ⅱ）假設y軸上存在點P（0，m）（m＜0），則設過點P且與橢圓有一個交點的直線l為：y=kx+m，則　

y=kx+m x2 3 +y2=1

，整理得（1+3k²）x²+6kmx+（3m²-3）=0，所以△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）=0，解3k²+1=m²，由此能夠導出y軸上存在點P（0，-2）．

解答：解：（Ⅰ）由題意得：2a=2

3

得a=

3

，半焦距c=

2

（2分）
則b=1橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1（3分）
“伴隨圓”的方程為x²+y²=4（5分）
（Ⅱ）假設y軸上存在點P（0，m）（m＜0），
則設過點P且與橢圓有一個交點的直線l為：y=kx+m，（1分）
則　

y=kx+m x2 3 +y2=1

整理得（1+3k²）x²+6kmx+（3m²-3）=0（3分）
所以△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）=0，解3k²+1=m²①（5分）
又因為直線l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2

2

，
則有2

22-( |m| k2+1 )2

=2

2

化簡得m²=2（k²+1）②（7分）
聯立①②解得，k²=1，m²=4，所以k=±1，m=-2（∵m＜0）
所以y軸上存在點P（0，-2）（9分）

點評：本題考查圓錐曲線的直線 的位置關系和綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．