Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點為F₂（

2

，0），其短軸上的一個端點到F₂距離為

3

．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若過點P（0，m）（m＜0）的直線l與橢圓C只有一個公共點，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2

2

，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由橢圓C的一個焦點為F₂（

2

，0），其短軸上的一個端點到F₂距離為

3

，即可求橢圓C的方程及其“伴隨圓”方程；
（Ⅱ）設過點P且與橢圓有一個交點的直線l為：y=kx+m，代入橢圓方程，利用△=0，直線l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2

2

，建立方程，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意得：a=

3

，半焦距c=

2

則b=1，所以橢圓C方程為

x2

3

+y2=1，“伴隨圓”方程為x²+y²=4；
（Ⅱ）則設過點P且與橢圓有一個交點的直線l為：y=kx+m（m＜0），
則

y=kx+m x2 3 +y2=1

，整理得（1+3k²）x²+6kmx+（3m²-3）=0
所以△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）=0，解3k²+1=m²①
又因為直線l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2

2

，
則有2

22-( |m| k2+1 )2

=2

2

化簡得m²=2（k²+1）②
聯立①②解得，k²=1，m²=4，
所以k=±1，m=±2
因為m＜0，所以m=-2．

點評：本題考查圓錐曲線的直線的位置關系和綜合運用，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質和數形結合的數學思想，考查解決問題的能力和運算能力．