Question

已知圓，直線
（1）求證：直線恒過定點
（2）判斷直線被圓截得的弦長何時最短？并求截得的弦長最短時的值及最短長度。

Answer 1

（1）見解析（2）當直線垂直于時被截得弦長最短，此時，最短弦長為

試題分析：（1）證明：直線的方程，
經整理得，                                           ……1分
由的任意性，                                                  ……3分
 恒過定點.                                                   ……5分
（2）解：因為直線恒經過圓內一點，當直線垂直于時被截得弦長最短.      ……7分
由、，直線斜率，
又直線與直線垂直， 直線的斜率為2，
于是，,                                                    ……9分
最短弦長為,                                                      ……11分
綜上所述，當直線垂直于時被截得弦長最短，
此時，最短弦長為.                                                   ……12分
點評：當直線與圓相交時，圓心到直線的距離、半弦長和半徑組成一個直角三角形，這個直角三角形在解題時經常用到.