Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知b²=ac，且a²-c²=ac-bc
（1）求∠A的大小；
（2）設f(x)=cos(ωx-

A

2

)+sin(ωx)(ω＞0)且f（x）的最小正周期為π，求f(x)在[0，

π

2

]的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用已知兩個等式以及余弦定理直接推出cosA的值，可求出A的大小；
（2）利用兩角和與差的余弦函數以及兩角和與差的正弦函數化簡函數的表達式，通過x的范圍求出相位的范圍，然后求出函數的最大值．

解答：解：（1）在△ABC中，∵b²=ac，且a²-c²=ac-bc，
∴b²+c²-a²=bc，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴cosA=

1

2

，
又A是三角形的內角，故A=

π

3

．
（2）因為f(x)=cos(ωx-

A

2

)+sin(ωx)
=cos(ωx-

π

6

)+sin(ωx)
=

3

2

cosωx+

1

2

sinωx+sinωx
=

3

2

cosωx+

3

2

sinωx
=

3

sin（ωx+

π

6

），因為f（x）的最小正周期為π，所以ω=2，
函數解析式為：f（x）=

3

sin（2x+

π

6

），
x∈[0，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，當x=

π

6

時，函數的最大值為

3

．

點評：本題考查三角形中的余弦定理，考查余弦定理與三角恒等變換公式，兩角和與差的三角函數，本題是解三角形中綜合性較強的一道題．