Question

【題目】已知定義在R上的偶函數f（x），當x≥0時，f（x）=x2﹣4x
（1）求f（﹣2）的值；
（2）當x＜0時，求f（x）的解析式；
（3）設函數f（x）在[t﹣1，t+1]（t＞1）上的最大值為g（t），求g（t）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x≥0時，f（x）=x2﹣4x，

故f（﹣2）=f（2）=﹣4

（2）解：設x＜0，則﹣x＞0，

∴f（﹣x）=x2+4x，

又f（x）是偶函數，

∴f（x）=f（﹣x）=x2+4x，

故x＜0時，f（x）=x2+4x

（3）解：∵當x≥0時，f（x）=x2﹣4x，

∴1＜t≤2，即|2﹣（t﹣1）|≥|（t+1）﹣2|時，

g（t）=f（t﹣1）=t2﹣6t+5，

t＞2，即|2﹣（t﹣1）|＜|（t+1）﹣2|時，

g（t）=f（t+1）=t2﹣2t﹣3，

故g（t）= ，

故t=2時，g（t）min=﹣3

【解析】（1）根據函數的解析式求出f（2）的值即可；（2）設x＜0，則﹣x＞0，根據函數的奇偶性求出函數的解析式即可；（3）通過討論t的范圍，求出g（t）的最小值即可．
【考點精析】利用函數的最值及其幾何意義和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．