Question

【題目】已知：函數．

（1）當時，求函數的極值；

（2）若函數，討論的單調性；

（3）若函數的圖象與軸交于兩點，且．設，其中常數、滿足條件，且．試判斷在點處的切線斜率的正負，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)極小值1，無極大值(2) 當時， 在上單調減；當時， 在和上單調減，在上單調增（3）在點處的切線斜率為正.

【解析】試題分析：（1）求導，利用導函數的符號變化得到函數的單調性，進而得到函數的極值；（2）求導，討論二次項系數的符號、判別式的符號及兩根大小進行求解；（3）先將問題轉化為判斷的符號，合理構造函數進行證明.

試題解析：（1）當時， ∴，令，則，列表得：

		1
		0
	單調減	極小值	單調增

∴有極小值，無極大值；

（2）， ∴，設

①當時， 恒成立，即恒成立，∴ 在上單調減；

②當且，即時， 恒成立，且不恒為0，則恒成立，且不恒為0，∴在上單調減；

③當且，即時，

有兩個實數根： ，且

∴ ∴當或時， ， ；當時， ， ；

∴在和上單調減，在上單調增．

∴綜上：當時， 在上單調減；當時， 在和上單調減，在上單調增.

（3）， ，問題即為判斷的符號．

∵函數的圖象與軸交于兩點，且

∴ 兩式相減得：

∴

∴

)

∵且 ∴ ∵ ∴

研究： 的符號，即判斷的符號．

令， ，設

∴

方法（一）設，其對稱軸為：

∴在上單調減，則，即在上恒成立 ∴在上單調增 ∴，即

∵ ∴

∴，即

∴在點處的切線斜率為正．

方法（二）

∵， ∴ ∴在上恒成立

∴在上單調增 ∴，即

∵ ∴

∴，即

∴在點處的切線斜率為正．