Question

已知函數f（x）=sin2x-cos2x，（x∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數f（x）的最大值，并求此時自變量x的集合．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x-cos2x=sin（2x-）（x∈R）（x∈R）．
∴f（x）的最小正周期為：T==π．．
（Ⅱ）∵f（x）=sin2x-cos2x=sin（2x-）（x∈R）（x∈R）．
∴f（x）的最大值為，…（7分）
此時2x-=2kπ+，即x=kπ+，（k∈Z）．
∴f（x）的最大值為時，自變量x的集合為{x|x=kπ+，k∈Z}．
分析：（Ⅰ）將函數f（x）=sin2x-cos2x，化為：f（x）=sin（2x-）（x∈R）即可求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x-），從而可求得其最大值及此時自變量x的集合．
點評：本題考查正弦函數的定義域和值域，難點在于利用輔助角公式將函數f（x）=sin2x-cos2x化為：f（x）=sin（2x-）（x∈R），再按題意解決問題，屬于基礎題．