Question

在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是4+i，3+4i，5+2i，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是

6-i

．

Answer 1

分析：找出復(fù)平面內(nèi)各復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則以原點(diǎn)為起點(diǎn)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為終點(diǎn)的向量可求，設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出平行四邊形四邊對(duì)應(yīng)的向量，由向量相等列式求出D的坐標(biāo)，則D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可求．

解答：解：在平行四邊形ABCD中，因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是4+i，3+4i，5+2i，
則

OA

=(4，1)，

OB

=（3，4），

OC

=(5，2)
設(shè)D（x，y），則

OD

=(x，y)，
所以

BA

=

OA

-

OB

=（4，1）-（3，4）=（1，-3）．

CD

=

OD

-

OC

=(x，y)-(5，2)=（x-5，y-2）．

BC

=

OC

-

OB

=（5，2）-（3，4）=（2，-2）．

AD

=

OD

-

OA

=(x，y)-(4，1)=（x-4，y-1）．
因?yàn)锳BCD為平行四邊形，所以

BA

=

CD

，則1×（y-2）-（-3）（x-5）=0 ①，

BC

=

AD

，則2×（y-1）-（-2）（x-4）=0 ②．
聯(lián)立①②得：x=6，y=-1．
則D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是6-i．
故答案為6-i．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的幾何意義，考查了共線向量基本定理，是基礎(chǔ)題．