Question

（2006•宣武區一模）設不等式組

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面區域為D_n，記D_n內的整點個數為a_n（n∈N^*）．（整點即橫坐標和縱坐標均為整數的點）
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記數列{a_n}的前n項和為S_n，且Tn=

Sn

3•2n-1

，若對于一切的正整數n，總有T_n≤m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x＞0，y＞0，3n-nx＞0，可求得x=1，或x=2，則D_n內的整點在直線x=1和x=2上，聯立可求得整點縱坐標，進而可得整點個數；
（Ⅱ）先求出S_n，從而可得T_n，通過作差可求得T_n的最大項，則m大于等于最大項；

解答：解：（I）由x＞0，y＞0，3n-nx＞0，得0＜x＜3，∴x=1或x=2，
∴D_n內的整點在直線x=1和x=2上，記直線y=-nx+3n為l，l與直線x=1，x=2的交點的縱坐標分別為y₁、y₂，
則y₁=-n+3n=2n，y₂=-2n+3n=n，
∴an=3n(n∈N*)；
（II）∵Sn=3(1+2+3+…+n)=

3n(n+1)

2

，

∴Tn= n(n+1) 2n ∴Tn+1-Tn= (n+1)(n+2) 2n+1 - n(n+1) 2n = (n+1)(2-n) 2n+1

∴當n≥3時，T_n＞T_n+1，且T1=1＜T2=T3=

3

2

，
∴T₂，T₃是數列{T_n}中的最大項，故m≥T2=

3

2

；

點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查線性規劃的基本知識，考查學生分析解決問題的能力．