Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2ax+1．
（1）若對任意的實數x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求實數 a的值；
（2）若f（x）在區間[1，+∞）上為單調遞增函數，求實數a的取值范圍；
（3）當x∈[﹣1，1]時，求函數f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由對任意的實數x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，

知函數f（x）=x2﹣2ax+1的對稱軸為x=a，即a=1；

（2）解：函數f（x）=x2﹣2ax+1的圖象的對稱軸為直線x=a，

由f（x）在[a，+∞）上為單調遞增函數，

y=f（x）在區間[1，+∞）上為單調遞增函數，得，a≤1；

（3）解：函數圖象開口向上，對稱軸x=a，可得最大值只能在端點處取得．

當a＜0時，x=1時，函數取得最大值為：2﹣2a；

當a＞0時，x=﹣1時，函數取得最大值為：2+2a；

當a=0時，x=1或﹣1時，函數取得最大值為：2．

【解析】（1）由題意可得x=1為對稱軸，求得f（x）的對稱軸方程，即可得到a；（2）求得f（x）的遞增區間，[1，+∞）為它的子區間，可得a的范圍；（3）由函數圖象開口向上，對稱軸x=a，可得最大值只能在端點處取得，討論a=0，a＞0，a＜0，即可得到所求最大值．
【考點精析】關于本題考查的函數的最值及其幾何意義和二次函數的性質，需要了解利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲�；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲�；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．