Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點坐標為（3，2），則p的值為（　　）

• A．

  1

  2

• B．1
• C．2
• D．4

Answer 1

分析：根據題意，算出直線AB的方程為y=x-

p

2

，與拋物線方程聯解消去y得

1

2p

y²-y-

p

2

=0，利用中點坐標公式與韋達定理建立關于p的方程，解之即可得到p的值．

解答：解：∵拋物線y²=2px的焦點為F（

p

2

，0）
∴過焦點且傾斜角為45°的直線l方程為y=x-

p

2

，
與拋物線方程消去x，得

1

2p

y²-y-

p

2

=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=2p=2×2=4，解之得p=2
故選：C

點評：本題給出拋物線過焦點且傾斜角為45°的直線，在已知截得弦的中點坐標的情況下求焦參數p的值，著重考查了拋物線的定義與標準方程、直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于基礎題．