Question

【題目】對于集合和常數，定義：為集合相對的“余弦方差”.

（1）若集合，，求集合相對的“余弦方差”；

（2）求證：集合相對任何常數的“余弦方差”是一個與無關的定值，并求此定值；

（3）若集合，，，相對任何常數的“余弦方差”是一個與無關的定值，求出、.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，定值；（3），或，

【解析】

由“余弦方差”的定義,對（1）（2）（3）逐個求解或證明即可.

（1）依題意：；

（2）由“余弦方差”定義得：，

則分子

為定值，與的取值無關.

（3），

分子

.

要使是一個與無關的定值,則,

,

與終邊關于軸對稱或關于原點對稱,

又,

得與終邊只能關于軸對稱,

,

又，，

則當時,;

當時,.

，或，.

故，或，時,相對任何常數的“余弦方差”是一個與無關的定值.