Question

如圖，在長方體中,，點在棱上移動，小螞蟻從點沿長方體的表面經棱爬到點，所爬的最短路程為。

（1）求的長度；

（2）求證：⊥；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（3）在線段上是否存在點，使得二面角的大小為。若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解析：（Ⅰ）設，∵四邊形是正方形，

∴小螞蟻從點沿長方體的表面經爬到點

如圖1的最短路程為 ，                                   

 。            4分

（Ⅱ）(幾何法)證明：方法一:連結，由長方體的性質可知：⊥平面，

∵平面,  ∴⊥  ，    6分

又∵，∴⊥，         

, ∴⊥平面,       8分

平面,∴⊥   。       9分

方法二:連結，由長方體的性質可知：⊥平面，    

∴是在平面內的射影。            w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                         2分

又∵，∴⊥，∴⊥（三垂線定理） 。       5分

（Ⅲ）假設存在連結，設，

過點在平面內作⊥，連結，

則為二面角的平面角，，                11分

在內，，而，

即，解得，即存在點，且與點距離為時，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

二面角的大小為。 -----14分

解法二：（1）同解法一            4分

(向量法)（Ⅰ1）如圖建立空間坐標系，

設  ，則，

，。

，

 。                   9分

（Ⅲ）假設存在，平面的法向量，，          10分

設平面的法向量，則即，

取，解得：，                           12分

由題意得：，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

解得：（舍去），

即存在點，且與點距離為時，二面角的大小為。        14分