Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+3c的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），則b-3a的取值范圍是（　　）

• A、（3，10）
• B、（-∞，3）∪（10，+∞）
• C、（-6，-1）
• D、（-∞，-6）∪（-1，+∞）

Answer 1

分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由已知結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得

0＜- a 2 ＜2 f′(0)＞0 f“(1)＜0 f′(2)＞0

，代入可得關(guān)于a，b的二元一次不等式組，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，畫出平面區(qū)域，在可行域內(nèi)找到目標(biāo)函數(shù)=-3a+b取得最大值及最小值點(diǎn)．

解答：解：∵f′（x）=x²+ax+2b
由題意可得f′（x）=0的兩根x₁，x₂，
且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）
∴

0＜ - a 2 ＜2 f′(0)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＞0

，∴

0＜- a 2 ＜2 2b＞0 a+2b+1＜0 2+a+b＞0

，
令Z=-3a+b做出不等式表示的平面區(qū)域：
如圖中的△ABC內(nèi)部區(qū)域（不包括邊界）A（-3，1）B（-1，0）C（-2，0）
由線性規(guī)劃的知識(shí)可得Z=-3a+b，
在A（-3，1） B（-1，0）分別取得最大值10，最小值3，但由于不包括邊界
∴3＜Z＜10
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)的極值為切入點(diǎn)，借助于二次函數(shù)的圖象及二次方程的實(shí)根分布把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，是一道綜合性較好的試題，體會(huì)“轉(zhuǎn)化思想”在解題中的應(yīng)用．