Question

【題目】已知為奇函數，為偶函數，且.

（1）求函數及的解析式，并用函數單調性的定義證明：函數在上是減函數；

（2）若關于的方程有解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據，用代替式子中的，利用奇偶性，構造方程組，解出和的解析式，取任意的，且，對進行化簡，判斷出，從而證明；（2）先得到的解析式，令，判斷出的值域，從而得到的值域，根據方程有解，從而得到的取值范圍.

（1）因為為奇函數，為偶函數,

所以.

又因為 ①

所以代替式子中的，得到

，即 ②

聯立①②，可得

，

設任意的，且,

則，

因為，所以

所以，即，所以0

所以，即函數在上是減函數

（2）因為,所以，

設，則，為單調遞減函數，

因為的定義域為，

所以，得到

即的定義域為

即，

所以， 則，

因為關于的方程有解，

故的取值范圍為.