Question

【題目】某健身機構統計了去年該機構所有消費者的消費金額（單位：元），如圖所示：

（1）現從去年的消費金額超過3200元的消費者中隨機抽取2人，求至少有1位消費者，其去年的消費者金額在的范圍內的概率；

（2）針對這些消費者，該健身機構今年欲實施入會制，詳情如下表：

預計去年消費金額在內的消費者今年都將會申請辦理普通會員，消費金額在內的消費者都將會申請辦理銀卡會員，消費金額在內的消費者都將會申請辦理金卡會員，消費者在申請辦理會員時，需一次性繳清相應等級的消費金額，該健身機構在今年底將針對這些消費者舉辦消費返利活動，現有如下兩種預設方案：

方案1：按分層抽樣從普通會員，銀卡會員，金卡會員中總共抽取25位“幸運之星”給予獎勵：

普通會員中的“幸運之星”每人獎勵500元；銀卡會員中的“幸運之星”每人獎勵600元；金卡會員中的“幸運之星”每人獎勵800元.

方案二：每位會員均可參加摸獎游戲，游戲規則如下：從一個裝有3個白球、2個紅球（球只有顏色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一個球，若摸到紅球的總數為2，則可獲得200元獎勵金；若摸到紅球的總數為3，則可獲得300元獎勵金；其他情況不給予獎勵. 規定每位普通會員均可參加1次摸獎游戲；每位銀卡會員均可參加2次摸獎游戲；每位金卡會員均可參加3次摸獎游戲（每次摸獎的結果相互獨立）

請你預測哪一種返利活動方案該健身機構的投資較少？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）方案二.

【解析】

（1）由間接法可得到結果；（2）計算方案1獎勵的總金額ξ1和方案2獎勵的總金額ξ2，比較大小即可．

（1）去年的消費金額超過3200元的消費者12人，隨機抽取2人，消費在的范圍內的人數為X，可能取值為1，2；

P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1，

去年的消費者金額在的范圍內的概率為

（2）方案1：按分層抽樣從普通會員，銀卡會員，金卡會員中總共抽取25位“幸運之星”，

則“幸運之星”中的普通會員，銀卡會員，金卡會員的人數分別為25＝7，25＝15，25＝3，

按照方案1獎勵的總金額為ξ1＝7×500+15×600+3×800＝14900（元）；

方案2：設η表示參加一次摸獎游戲所獲得的獎勵金，則η的可能取值為0，200，300；

由摸到紅球的概率為P，

∴P（η＝0），

P（η＝200），

P（η＝300），

η的分布列為：

η	0	200	300
P

數學期望為Eη＝020030076.8（元），

按照方案2獎勵的總金額為

ξ2＝（28+2×60+3×12）×76.8＝14131.2（元），

由ξ1＞ξ2知，方案2投資較少．