Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)分別與兩個定點(diǎn)，的連線的斜率之積為.

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與軌跡交于，兩點(diǎn)，判斷直線與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1） ； （2）相離.

【解析】

（1）根據(jù)直接法求軌跡方程，（2）先用坐標(biāo)表示以線段為直徑的圓方程，再根據(jù)圓心到直線距離與半徑大小進(jìn)行判斷.

（1）設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因為 ， ，

所以，整理得．

所以動點(diǎn)的軌跡的方程 ．

（2）過點(diǎn)的直線為軸時，顯然不合題意．

所以可設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，

設(shè)直線與軌跡的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，，

由得．

因為，

由韋達(dá)定理得 =， =．

注意到 =．

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

因為 ．

點(diǎn)到直線的距離為．

因為 ，即 ，

所以直線與以線段為直徑的圓相離．