Question

【題目】已知函數.

（1）若,求曲線在處的切線方程；

（2）若在上單調遞增,求實數的取值范圍；

（3）當時,求證:對于任意的 ,均有.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求出,由的值可得切點坐標，由的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）函數在[]上單調遞增 在[]上恒有.即（）恒成立，令（）,只需求出的最小值即可得結果；（3）先證明當 []時, , 遞增,有成立，再討論兩種情況若,不等式恒成立，只需分兩種情況證明（]時也恒成立即可.

試題解析：（1）因為函數,則.

又因為,.

所以曲線在（）處的切線方程為: .

（2）因為,所以（）

函數在[]上單調遞增 在[]上恒有.即（）恒成立.令（）,則

.又因為在[]上單調遞增,所以,

所以.

（3）證明: 因為,所以（）.

令（）,則.

①當 []時, , 遞增,有,

因為,此時, , 遞增,

有成立.

②當（]時, , 遞減,有,

若,此時, 遞增, 顯然成立.

若（],此時記,則在（]上遞增,

在（]上遞減.此時有,

,

構造,則,

令,求得.故在（]上遞減,

在（）上遞增,所以，

所以,此時滿足，

綜上所述,當時,對于任意的 [],均有.

【方法點晴】本題主要考查利用導數研究函數的單調性、導數的幾何意義、利用單調性求參數的范圍，屬于中檔題. 利用單調性求參數的范圍的常見方法：① 視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間比較求參數需注意若函數在區間上是單調的，則該函數在此區間的任意子集上也是單調的; ② 利用導數轉化為不等式或恒成立問題求參數范圍，本題（2）是利用方法 ②求解的．