Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣ax﹣1（a為常數），曲線y=f（x）在與y軸的交點A處的切線斜率為﹣1．
（1）求a的值及函數y=f（x）的單調區間；
（2）若x1＜ln2，x2＞ln2，且f（x1）=f（x2），證明：x1+x2＜2ln2．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex﹣ax﹣1，得f′（x）=ex﹣a．

又f′（0）=1﹣a=﹣1，

∴a=2．

∴f（x）=ex﹣2x﹣1，f′（x）=ex﹣2．

由f'（x）=ex﹣2＞0，得x＞ln2．

∴函數f（x）在區間（﹣∞，ln2）上單調遞減，在（ln2，+∞）上單調遞增，

（2）解：證明：設x＞ln2，

∴2ln2﹣x＜ln2，

∴f（2ln2﹣x）=e2ln2﹣x﹣2（2ln2﹣x）﹣1= +2x﹣2ln2﹣1，

令g（x）=f（x）﹣f（2ln2﹣x）= ﹣4x+4ln2，（x＞ln2），

∴g′（x）=ex+4e﹣x﹣4≥0，當且僅當x=ln2時，等號成立，

∴g（x）在（ln2，+∞）上單調遞增，

又g（ln2）=0，

∴當x＞ln2時，g（x）=f（x）﹣f（2ln2﹣x）＞g（ln2）=0，

即f（x）＞f（2ln2﹣x），

∴f（x2）＞f（2ln2﹣x2），

又f（x1）=f（x2），

∴f（x1）＞f（2ln2﹣x2），

由于x2＞ln2，

∴2ln2﹣x2＜ln2，

∵x1＜ln2，

由（Ⅰ）函數f（x）在區間（﹣∞，ln2）上單調遞減，

∴x1＜2ln2﹣x2，

即x1+x2＜2ln2

【解析】（1）求出函數的f′（x）=ex﹣a．通過f′（x）=ex﹣2＞0，即可求解函數f（x）在區間（﹣∞，ln2）上單調遞減，在（ln2，+∞）上單調遞增．（2）設x＞ln2，構造函數g（x）=f（x）﹣f（2ln2﹣x），分別根據函數的單調性，以及x1＜ln2，x2＞ln2，且f（x1）=f（x2）即可證明．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．