Question

【題目】已知函數f（x）=2cos2（x﹣ ）﹣ sin2x+1
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）當x∈（ ， ）時，若f（x）≥log2t恒成立，求 t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=cos（2x﹣ ）﹣ sin2x+2= cos2x﹣ sin2x+2=cos（2x+ ）+2， 由2kπ﹣π≤2x+ ≤2kπ，k∈Z，得k ≤x≤k ，k∈Z，
∴f（x）的單調遞增區間為[k ，k ]，k∈Z，．
（或者：f（x）= ﹣ +2= cos2x﹣ +2
=﹣ +2，
令 +2kπ≤ ≤ +2kπ，k∈Z．
則 +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z．…（5分）
∴f（x）的單調遞增區間為：[ +kπ， +kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）∵ ，
∴ ，
∴﹣1≤cos（ ）≤﹣ ，1≤cos（2x+ ）+2 ，
（或者：∵ ，∴
∴ ≤ ≤1∴1≤﹣ +2≤
∴f（x） ，f（x）min=1．
若f（x）≥log2t恒成立，∴則log2t≤1，
∴0＜t≤2，
即t的取值范圍為（0，2]
【解析】（Ⅰ）由三角函數中的恒等變換應用化簡函數解析式可得f（x）=cos（2x+ ）+2，由2kπ﹣π≤2x+ ≤2kπ，k∈Z，即可解得f（x）的單調遞增區間．（Ⅱ）由 ，可得 ，解得1≤cos（2x+ ）+2 ，求得f（x） ，f（x）min=1，由題意log2t≤1，從而解得t的取值范圍．