Question

已知函數(shù)．

(1)函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)_k是增函數(shù)還是增函數(shù)?證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)>0時(shí)，>恒成立，求正整數(shù)的最大值．

Answer 1

解：(1)

=

∵>0，∴²>0，>o，ln(+1)>0，

∴<0．

因此函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上是減函數(shù)．

(2)當(dāng)>0時(shí)，>恒成立，

令=1，有<2(1+ln2)．

又為正整數(shù)，∴的最大值不大于3．

下面證明當(dāng)=3時(shí)，>(>0)恒成立，

即證當(dāng)>0時(shí)，(+1)ln(+1)+1―2>0恒成立

令g()=(+1)ln(+1)+1―2，

則g’()=ln(+1)―1，

當(dāng)>e^一1時(shí)，g’()>0；當(dāng)0<<e一1時(shí)，g’()<0，

∴當(dāng)=e一1時(shí)，g()取得最小值g(e-1)=3一e>0．

當(dāng)>0時(shí)，(+1)ln(+1)+1―2>0恒成立．

因此正整數(shù)的最大值為3．