Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，A是橢圓上的一點，AF₂⊥F₁F₂，原點O到直線AF₁的距離為

1

3

|OF1|．
（I）證明：a=

2

b；
（II）設Q₁，Q₂為橢圓上的兩個動點，OQ₁⊥OQ₂，過原點O作直線Q₁Q₂的垂線OD，垂足為D，求點D的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）先求得A點的坐標，再求得直線AF1的方程，利用點到直線的距離結合條件得到一個關于a，b的關系式，化簡即得；
（2）設點D的坐標為（x₀，y₀）．欲求其軌跡方程，即尋找x，y的關系式，由直線Q₁Q₂的方程和橢圓的方程組成方程組，結合向量的垂直關系即可找到找x，y的關系式，從而問題解決．

解答：解：（I）由題設AF₂⊥F₁F₂及F₁（-c，0），F₂（c，0），
不妨設點A（c，y），其中y＞0．
由于點A在橢圓上，有

c2

a2

+

y2

b2

=1，即

a2-b2

a2

+

y2

b2

=1．
解得y=

b2

a

，從而得到A(c，

b2

a

)．
直線AF₁的方程為y=

b2

2ac

(x+c)，整理得b²x-2acy+b²c=0．
由題設，原點O到直線AF₁的距離為

1

3

|OF1|，即

c

3

=

b2c

b4+4a2c2

，
將c²=a²-b²代入上式并化簡得a²=2b²，即a=

2

b．

（II）設點D的坐標為（x₀，y₀）．當y₀≠0時，由OD⊥Q₁Q₂知，直線Q₁Q₂的斜率為-

x0

y0

，
所以直線Q₁Q₂的方程為y=-

x0

y0

(x-x0)+y0，或y=kx+m，其中k=-

x0

y0

，m=y0+

x 2 0

y0

．
點Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂）的坐標滿足方程組

y=kx+m ① x2+2y2=2b2 ②

將①式代入②式，得x²+2（kx+m）²=2b²．
整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2b²=0．
于是x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1．x2=

2m2-2b2

1+2k2

．③
由①式得y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k2.

2m2-2b2

1+2k2

+km.

-4km

1+2k2

+m2=

m3-2b2k2

1+2k2

．④
由OQ₁⊥OQ₂知x₁x₂+y₁y₂=0．將③式和④式代入得

3m2-2b2-2b2k2

1+2k2

=0，3m²=2b²（1+k²）．
將k=-

x0

y0

，m=y0+

x 2 0

y0

代入上式，整理得

x

2 0

+

y

2 0

=

2

3

b2．
當y₀=0時，直線Q₁Q₂的方程為x=x₀．點Q₁（x₁，y₀），Q₂（x₂，y₂）的坐標滿足方程組

x=x0 x2+2y2=2b2

所以x1=x2=x0，y1，2=±

2b2- x 2 0 2

．
由OQ₁⊥OQ₂知x₁x₂+y₁y₂=0，即

x

2 0

-

2b2- x 2 0

2

=0，解得

x

2 0

=

2

3

b2
這時，點D的坐標仍滿足

x

2 0

+

y

2 0

=

2

3

b2．
綜上，點D的軌跡方程為x2+y2=

2

3

b2．

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、求曲線的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．