Question

（2013•湖南模擬）設圓C：（x-3）²+（y-5）²=5，過圓心C作直線l交圓于A，B兩點，與y軸交于點P，若A恰好為線段BP的中點，則直線l的方程為

y=2x-1或y=-2x+11

．

Answer 1

分析：由題意可設直線L的方程為y-5=k（x-3），P（0，5-3k），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立

y-5=k(x-3) (x-3)2+(y-5)2=5

，然后由方程的根與系數關系可得，x₁+x₂，x₁x₂，由A為PB的中點可得x₂=2x₁，聯立可求x₁，x₂，進而可求k，即可求解直線方程

解答：解：由題意可得，C（3，5），直線L的斜率存在
可設直線L的方程為y-5=k（x-3）
令x=0可得y=5-3k即P（0，5-3k），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯立

y-5=k(x-3) (x-3)2+(y-5)2=5

消去y可得（1+k²）x²-6（1+k²）x+9k²+4=0
由方程的根與系數關系可得，x₁+x₂=6，x₁x₂=

9k2+4

1+k2

①
∵A為PB的中點
∴

0+x2

2

=x1即x₂=2x₁②
把②代入①可得x₂=4，x₁=2，x₁x₂=

9k2+4

1+k2

=8
∴k=±2
∴直線l的方程為y-5=±2（x-3）即y=2x-1或y=-2x+11
故答案為：y=2x-1或y=-2x+11

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，方程的根與系數關系的應用，體現了方程的數學思想，屬于中檔題．