Question

已知函數f(x)=

1

2

x2+x，g（x）=2a²lnx+（a+1）x．
（1）求過點（2，4）與曲線y=f（x）相切的切線方程；
（2）如果函數g（x）在定義域內存在導數為零的點，求實數a的取值范圍；
（3）設h（x）=f（x）-g（x），求函數h（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x），欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=2處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問題解決．
（2）先求出導數g′(x)=

2a2

x

+(a+1)，若g'（x）=0，解得x=-

2a2

a+1

利用x＞0即可實數a的取值范圍；
（3）先求出函數的定義域，求出函數f（x）的導函數，在定義域下令導函數大于0得到函數的遞增區間，令導函數小于0得到函數的遞減區間．

解答：解：（1）f'（x）=x+1，∵點（2，4）在曲線上，∴k=f'（2）=3
∴所求的切線方程為y-4=3（x-2），即y=3x-2…（3分）
（2）g′(x)=

2a2

x

+(a+1)
若g'（x）=0，則x=-

2a2

a+1

．
∵x=-

2a2

a+1

＞0，∴a＜-1．                             …（6分）
（3）h(x)=

1

2

x2+x-2a2lnx-(a+1)x=

1

2

x2-2a2lnx-ax(x＞0)h′(x)=x-

2a2

x

-a=

x2-ax-2a2

x

≥0
即

(x-2a)(x+a)

x

≥0…（11分）
當a＞0時，單調遞增區間為[2a，+∞）
當a=0時，單調遞增區間為（0，+∞）
當a＜0時，單調遞增區間為[-a，+∞）…（14分）

點評：本小題主要考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，考查直線的斜率、導數的幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力，求函數的單調區間，應該先求出函數的導函數，令導函數大于0得到函數的遞增區間，令導函數小于0得到函數的遞減區間．