Question

【題目】已知等軸雙曲線：的右焦點為，為坐標原點，過作一條漸近線的垂線且垂足為，.

（1）求等軸雙曲線的方程；

（2）若過點且方向向量為的直線交雙曲線于、兩點，求的值；

（3）假設(shè)過點的動直線與雙曲線交于、兩點，試問：在軸上是否存在定點，使得為常數(shù)，若存在，求出的坐標，若不存在，試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）定點.

【解析】

（1）根據(jù)雙曲線焦點到漸近線的距離為和等軸雙曲線的性質(zhì)，求得等軸雙曲線的方程.

（2）由直線的方向向量求得直線的斜率，由此寫出直線的方程.聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，寫出韋達定理，求得，，由此求得的值.

（3）設(shè)，設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，寫出韋達定理，代入進行化簡，結(jié)合為常數(shù)列方程，解方程求得點的坐標.

（1）雙曲線焦點到漸近線的距離為，所以，所以等軸雙曲線的方程為.且.

（2）由于直線的方向行向量為，所以直線的斜率為，而，所以：，與聯(lián)立方程并化簡得，可得，，

即.

（3）設(shè)點.依題意可知直線與不平行，設(shè)直線，與聯(lián)立方程有，

可得，，∴，，

，要為定值，

需滿足，∴，即定點.