Question

一個棱柱的直觀圖和三視圖（主視圖和俯視圖是邊長為a的正方形，左視圖是直角邊長為a的等腰三角形）如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點，G是DF上的一動點．
（Ⅰ）求證：GN⊥AC；
（Ⅱ）求三棱錐F-MCE的體積；
（Ⅲ）當FG=GD時，證明AG∥平面FMC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三視圖易得該幾何體是一個底面為等腰直角三角形的直三棱柱，且側面積ABCD是正方形，根據已知，我們易得AC⊥面ABCD
，進而得到GN⊥AC．
（Ⅱ）利用轉化思想，我們可得V_E-FMC=V_ADF-BCE-V_F-AMCD-V_E-MBC，把相應的棱長代入體積公式，即可得到結論．
（Ⅲ）連接DE交FC于Q，連接QG，我們易得AM∥GQ，根據線面平行的判定定理，我們易得結論．

解答：解：（Ⅰ）由三視圖可知，多面體是直三棱柱，
兩底面是直角邊長為a的等腰直角三角形，
側面ABCD，CDFE是邊長為a的正方形．（3分）
連接DN，因為FD⊥CD，FD⊥AD，
所以，FD⊥面ABCD
∴FD⊥AC
又∵AC⊥DN，
所以，AC⊥面GND，
GN?面GND
所以GN⊥AC（6分）
（Ⅱ）V_E-FMC=V_ADF-BCE-V_F-AMCD-V_E-MBC．（12分）
=S△BCE•CD-

1

3

FD•SAMCD-

1

3

EC•S△MBC
=

1

2

a•a•a-

1

3

•

1

2

(

a

2

+a)•a•a-

1

3

•

1

2

•

a

2

•a•a
=

1

6

a3．（14分）
另解：VE-FMC=VM-CEF=

1

3

AD•S△CEF=

1

3

•a•

1

2

a•a=

1

6

a3
（Ⅲ）連接DE交FC于Q，連接QG
因為G，Q，M分別是FD，FC，AB的中點，所以GQ∥

1

2

CD，AM∥

1

2

CD，
所以，AM∥GQ，AMGQ是平行四邊形（9分）
AG∥QM，AG?面FMC，MQ?面FMC
所以，AG∥平面FMC．（10分）

點評：本題考查的知識點是由三視圖判斷物體的形狀，線面、線線垂直的轉化，棱錐體積的求法，線面平行的證明，其中根據三視圖判斷棱柱相關棱長的長度及相互之間的關系是解答本題的關鍵．